相關領域：數論（Number Theory）
這個定理在350年後(1993)被證明是對的：xn+yn=zn 當 n>2 時，不存在整數解。
這本書我在10年後才有能力拿起來細讀。
大概13歲的時候在ㄧ本講數學史的書上看過，那時候還叫做「費馬大猜想」。
費瑪很瀟灑的在ㄧ本丟番圖＜算術＞法文譯本的某頁邊邊寫下上面的猜想，然後說：「關於這個命題我有一個絕妙的證明；但書的空白處太小寫不下。」
這種話還滿挑釁的，而且整整300多年數學家都在絞盡腦汁。中間還扯到一些人命關天的事情。
後來，這個證明在1993年由安德魯 懷爾斯給出，1995年證明完善後公諸於世；1998年就出版了相關的介紹書籍。
記得大概在1998年，某天念物理的哥哥從學校回來，很高興的跟我說：「費瑪定理被解決了！」好像大家都應該知道這號人物似的。似乎忘了我這個妹妹跟他差13歲。
還好我知道這號人物，大概跟哥哥簡述我對他的認識 (ㄧ個治安官，業餘數學家)之後，他就把那本書丟給我，說：「那你應該也要看看這本書！」盛情難卻，只好收下囉。
接著塵封了10年，那時候15歲的我還看不懂也看不下這樣的書，雖說他是課外讀物，但我後來在中研院數學所上面察看推薦書單時，發現本書是被歸類在進階閱讀的書單中。
結果10年後，我還是看了，而且看完之後還覺得很可惜怎麼就這樣看完了！
這本書相當旁徵博引，不過事實上整個定理證明所需要的工具也是相當多就是了。
不難看出，這個式子是畢達哥拉斯定理推廣的型式。只是在這過程當中該要怎麼去證明費瑪說的是對的呢？一個辦法就是慢慢證明；從n=3開始一個個証，問題是自然數有無限多個，對於數學家來說，這樣的證明不夠高明。因為當中並不是對整個問題有明確的邏輯推演；而是針對個別案例藉由經驗堆砌而成的事實；經驗主義在數學上來說是不可靠的。
在懷爾斯的証明過程中，也有一個過程類似一個一個證明，可還是依循著邏輯；就是數學歸納法。這種證明有點像是骨牌效應，懷爾斯把它用在證明＂志村-谷山猜想＂。因為若這個猜想是對的，那麼費瑪定理就是對的。
志村-谷山定理說明：橢圓方程式的解（Ｅ-序列）與模型式的模數（Ｍ-序列）是相通的。
懷爾斯利用群論的概念還有歸納法（以自然次序一一對應的方式）得出證明。
這個猜想是費瑪定理的關鍵證明，我對其中模型式模數的想法其實滿感興趣的，因為我發現它其實是一種兩個數字做除法運算後，對餘數的探討。除了集合論以外，關於群論當中討論運算子的封閉性也比其他四種運算來的有趣。而橢圓方程式的解可以由第五種運算方式下找出。
模數也可以看作是不同的進位系統，比如說：2進制、5進制、時間的60進制等等。但我想在數學上來說應該意義更廣泛吧？只是以一個唸工程的我來說，所能找到適切的比喻方式就是各種不同的進位系統了。
誠然證明出一個懸宕300多年的定理是非常不平凡的事情，這中間也發現了數論與代數幾何之間的關係；一種數學上能夠被統一的想法。這在另外ㄧ本書：＜希爾伯特的23個問題＞裡面有談及。現在物理界的弦論(string theory)也被賦予統一物理三大力學的使命。雖然在數學上，哥德爾的不完備理論證明希爾伯特的問題無法被解決。也就是說，希爾伯特想要將公理系統呈現完整性與相容性的夢想是不可能達到的。數學家永遠不知道所選擇的公理會不會有矛盾的情況。
但這並不影響數學的基礎，因為那是極端的例子。（有個數學系的朋友跟我說過，當他唸到悖論時整個對數學感到失望。）但是費瑪定理當中，關鍵性的證明卻是數學中兩個不同的理論相容的結果；希爾伯特希望這個相容性也可以被證明，只是根據哥德爾的理論是無法的。但數學當中確實可以讓兩種不同的理論有相容性；就像搭橋，找出可供轉換的方法便可。（例如Fourier Transformation就是一種轉換函數，在工程上來說可以對訊號做時域與頻域的互換。物理上來說就是把他從笛卡兒座標轉換成極座標；數學上來說就是把實數變成複數的一種方法。）
只是數學家們還需提出證明：為什麼可以做這樣子的轉換？
寫到這邊我已經查閱超過10個相關的數學網站了，這種境界的數學簡直就不是我這種泛泛之輩能夠觸及；但閱讀這本書的過程當中得到相當多的啟發；不僅僅是數學方面的知識，還有懷爾斯解決問題的精神，這種精神是我想效法的地方。
［碎碎念］
這本書有個小地方不太妥當；就是每當描述費瑪定理的時候，應該是「無整數解」；但往後文中描述某段卻會翻成：「無解」；這個差很多。期待改版的時候可以更正這個錯誤，畢竟「無整數解」不見得是「無解」，就我的認知而言。
［延伸閱讀］
部分參考內容：cctg - 費瑪最後定理
橢圓曲線
橢圓曲線密碼學
谷山 - 志村定理
費瑪定理英文版(wikipedia)（中文版本較著重定理本身，而不是歷史。）
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